11/10/2022 de 12:00 a 13:00
Dónde Auditorio "Alfonso Nápoles Gándara"
Ponente: Xavier Gómez Mont
Institución: CIMAT
La ecuación de los círculos en el plano es x2+y2=r2, con x e y números reales. Si ampliamos el cuerpo de números que estamos considerando de los reales a los complejos, la misma ecuación nos determina otro conjunto S(r), que es ahora una superficie bidimensional.
De manera natural, veremos que esta superficie que vive en ℝ4=ℂ2 está formada por la unión de círculos (como una cebra en el zoológico) y de hecho tiene un círculo central remarcable.
Si proyectamos S(r) a la primera o segunda variable de ℂ2, estos círculos se convierten en dos familias de elipses disjuntas que forman el plano ℂ . Estas elipses tienen una parametrización natural y son enviadas una en la otra via la ecuación x2+y2=r2.
Por otro lado si proyectamos S(r) a la parte real o a la parte imaginaria, estos círculos son círculos en el plano, pero con un radio mayor que uno específico en cada plano real, que son enviadas una en la otra via la ecuación x2+y2=r2 preservando una parametrización natural.
Estos resultados se transparentan al considerar las variables complejas x1+ix2 y y1+iy2 por un lado y las variables complejas x1+iy1 y x2+iy2 en el mismo ℝ4, así como las acciones del círculo S1 de los números complejos de norma 1.
Veremos al final cómo estos resultados se pueden generalizar a otras ecuaciones vía el mapeo de Gauss (la matriz jacobiana), donde al cortar la superficie en los "círculos remarcables" nos dan información de cómo se organizan las singularidades de la ecuación.
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