Ponente: Mark Spivakovsky (Universidad de Toulouse)
04/02/2014
de 12:00 a 13:00
Dónde Auditorio "Alfonso Nápoles Gándara"
Resumen:
Sea $X$ una variedad algebraica compleja. Un arco formal trazado sobre $X$ es una curva formal parametrizada contenida en $X$. El objeto de esta conferencia es el espacio $H$ de arcos centrados en puntos singulares de $X$. J. Nash demostró que el número de componentes irreducibles de $H$ está acotado por el número de componentes irreducibles del divisor excepcional (la preimagen del lugar singular $Sing(X)$ de $X$) en una resolución de singularidades cualquiera de $X$. En particular, el conjunto de componentes irreducibles de $H$ es finito.
El problema de arcos de Nash afirma la existencia de una biyección entre el conjunto de componentes irreducibles de $H$ y el conjunto de componentes irreducibles ESENCIALES del divisor excepcional en una resolución de singularidades cualquiera de $X$. Por ejemplo, cuando $X$ es una superficie, este segundo conjunto se identifica con el conjunto de componentes irreducibles del divisor excepcional de la resolución minimal de $X$.
En esta conferencia presentaremos los siguientes resultados:
1) Una solución afirmativa del problema para $dim(X)=2$ (J. Fernandez de Bobadilla--M. Pe Pereira, 2011)
2) Un contraejemplo para $dim(X)=4$ (S. Ishii--J. Kollár, 2002)
3) Una solución negativa para $dim(X)$ superior o igual a 3 (T. de Fernex más una gran clase de contraejemplos de J. Johnson y J. Kollár, 2012).
En la medida de lo posible, todos los conceptos utilizados en la conferencia (variedad algebraica, resolución de singujlaridades, etc.) serán introducidos al principio, es decir, se hará un gran esfuerzo para que esta sea autocontenida.
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